Transformação de Fourier da prova de convolução

1. Qual é a transformação de Fourier da convolução?
2. Como você prova o teorema da convolução?
3. Como a transformação de Fourier da convolução de duas funções calculadas?
4. Qual é o significado da propriedade de convolução de Fourier Transform?

Qual é a transformação de Fourier da convolução?

O teorema da convolução (juntamente com os teoremas relacionados) é um dos resultados mais importantes da teoria de Fourier, que é que a convolução de duas funções no espaço real é a mesma que o produto de suas respectivas transformadas em Fourier, I, i I.e. f (r) ⊗ ⊗ g (r) ⇔ f (k) g (k) .

Como você prova o teorema da convolução?

Prova do teorema da convolução

Observe, na equação abaixo, que a integral da convolução é tomada sobre a variável x para dar uma função de u. A transformação de Fourier envolve uma parte integrante da variável u. Agora substituímos uma nova variável w para u-x. Como acima, os limites de integração infinitos não mudam.

Como a transformação de Fourier da convolução de duas funções calculadas?

Acabamos de mostrar que a transformação de Fourier da convolução de duas funções é simplesmente o produto das transformações de Fourier das funções. Isso significa que, para sistemas lineares e invariantes no tempo, onde o relacionamento de entrada/saída é descrito por uma convolução, você pode evitar a convolução usando transformadas de Fourier.

Qual é o significado da propriedade de convolução de Fourier Transform?

Além disso, a propriedade da convolução destaca o fato de que, ao decompor um sinal em uma combinação linear de exponenciais complexos, que a transformação de Fourier faz, podemos interpretar o efeito de um sistema linear e invariante como simplesmente dimensionar as amplitudes (complexas) de cada desses exponenciais por uma escala ...